19-летнему человеку с болеющей мамой и непомогающим отцом - имеет ли он право на пенсию?

Нет у Вас права на пенсию и вообще нет права требовать от родителей содержания. Совершеннолетние дети могут и обязаны обеспечивать себя самостоятельно.

Пенсия по потере кормильца назначается только детям умерших родителей до 23 лет при условии, что они обучаются очно. Не Ваш случай, родители живы. Ст.10 ФЗ № 400-ФЗ "О страховых пенсиях".

Вам уже 19 лет и это отец имеет право взыскать с Вас алименты, помогать НЕ ОБЯЗАН.Если Вы конечно ТРУДОСПОСОБНЫ,

СК РФ Статья 85. Право на алименты нетрудоспособных совершеннолетних детей

1. Родители обязаны содержать своих нетрудоспособных совершеннолетних детей, нуждающихся в помощи.

2. При отсутствии соглашения об уплате алиментов размер алиментов на нетрудоспособных совершеннолетних детей определяется судом в твердой денежной сумме, подлежащей уплате ежемесячно, исходя из материального и семейного положения и других заслуживающих внимания интересов сторон.

Нет никаких оснований для назначения Вам пенсии: оба родителя живы, сиротой Вы не являетесь, инвалидности не имеете. Возраст для взыскания алиментов с родителей уже прошел. Попробуйте устроиться на работу через службу занятости населения. В службе занятости платят пособие по безработице (ФЗ РФ "О занятости населения").