Хочу заключить брак с алжирцем в России, но ему отказали в визе по деловому приглашению, оформленному через МИД. Что делать?

Иным образом надо искать возможность въезда. Не обязательно по деловому приглашению. Документы должны быть в порядке для регистрации. Т.е. он должен законным образом находиться в РФ. Тогда можно подать заявление. Иначе никак.

См. Федеральный закон от 15.11.1997 N 143-ФЗ (ред. от 27.12.2018) "Об актах гражданского состояния", ст. 26, 27

Можете брак заключить с ни в Алжире. Для этого Вам нужно выехать из России в Алжир на законном основании. Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ (ред. от 11.10.2018) "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию" (с изм. и доп., вступ. В силу с 27.01.2019)

Глава III. ПОРЯДОК ВЫЕЗДА ГРАЖДАНИНА

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

Тогда можете заключить брак в Алжире. Если брак соответствует законодательству Российской Федерации он признается Российской Федерацией.

СК РФ Статья 158. Признание браков, заключенных за пределами территории Российской Федерации

1. Браки между гражданами Российской Федерации и браки между гражданами Российской Федерации и иностранными гражданами или лицами без гражданства, заключенные за пределами территории Российской Федерации с соблюдением законодательства государства, на территории которого они заключены, признаются действительными в Российской Федерации, если отсутствуют предусмотренные статьей 14 настоящего Кодекса обстоятельства, препятствующие заключению брака.

Получите другую визу обратившись в посольство или консульство России, которые находятся в Алжире (например гостевую или туристическую) в соответствии с вступившим в силу Федеральным законом от 28 декабря 2013 г. № 389-ФЗ «О внесении изменений в статью 27 Федерального закона «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» и статью 5 Федерального закона «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации», срок временного пребывания в Российской Федерации иностранного гражданина, прибывшего в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, не может превышать 90 суток суммарно в течение каждого периода в 180 суток, за исключением случаев, предусмотренных Федеральным законом от 25 июля 2002 г. № 115-ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации»