Может ли автор стать наследником третьего мужа своей бабушки, не оставившего завещание?

Анастасия, это возможно, скажем, если есть основания, указанные ниже.

ГК РФ Статья 1148. Наследование нетрудоспособными иждивенцами наследодателя

1. Граждане, относящиеся к наследникам по закону, указанным в статьях 1143 - 1145 настоящего Кодекса, нетрудоспособные ко дню открытия наследства, но не входящие в круг наследников той очереди, которая призывается к наследованию, наследуют по закону вместе и наравне с наследниками этой очереди, если не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении, независимо от того, проживали они совместно с наследодателем или нет.

2. К наследникам по закону относятся граждане, которые не входят в круг наследников, указанных в статьях 1142 - 1145 настоящего Кодекса, но ко дню открытия наследства являлись нетрудоспособными и не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении и проживали совместно с ним. При наличии других наследников по закону они наследуют вместе и наравне с наследниками той очереди, которая призывается к наследованию.

3. При отсутствии других наследников по закону указанные в пункте 2 настоящей статьи нетрудоспособные иждивенцы наследодателя наследуют самостоятельно в качестве наследников восьмой очереди.

Кроме того, надо рассмотреть вот какой вопрос. Может быть, бабушка покупала имущество (например, квартиру) вместе с этим третьим мужем в браке за деньги и соответственно там есть ее супружеская доля.

А Вы являетесь наследником бабушки (если Ваш родитель, "чья" бабушка, ранее умер или таковым является сам этот родитель, если он жив)

Следовательно можно вести речь в этом случае о выделении супружеской доли бабушки и наследовании Вами этой доли.