Как прописать несовершеннолетнего сына в квартире, в которой есть доля, но где нет регистрации?

Нет. не можете, если ему еще нет 14 лет. Т.к. ребенок может быть там прописан только если кто-то из родителей прописан (ст. 20 ГК РФ)

Если ему нет 14 лет, то ребенок должен проживать с одним из родителей согласно п.2 ст.20 ГК РФ. Согласно пункту 2 статьи 20 ГК РФ

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов

Также нужно согласие другого родителя на основании п.3 ст.65 Семейного кодекса РФ, согласно которому:

Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей.

При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд учитывает привязанность ребенка к каждому из родителей, братьям и сестрам, возраст ребенка, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (род деятельности, режим работы родителей, материальное и семейное положение родителей и другое)

Если же 14 лет уже есть, то если он не собственник, то зарегистрировать его на своей доле не получится без согласия других участников общей долевой собственности согласно ст.247 ГК РФ, т.к. пользование общим имуществом, находящимся в общей долевой собственности, осуществляется с согласия всех его собственников.

Наврали все коллеги выше. Ребенок спокойно прописывается независимо от места жительства родителя.