Как правильно указать место рождения в новом паспорте - Башкирская АССР или респ. Башкортостан?

Неправильно. Т.к. противоречит новому регламенту.

См.

Приказ МВД России от 13.11.2017 N 851 "Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по выдаче, замене паспортов гражданина Российской Федерации, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации" (Зарегистрировано в Минюсте России 07.12.2017 N 49154)

остальные населенные пункты - наименование населенного пункта, района, субъекта Российской Федерации.

Поэтому пусть исправляют.

Наименование субъекта РФ определяется ст. 65 Конституции РФ. И там уже нет Башкирской АССР.

--- Здравствуйте уважаемый посетитель сайта! Правильно, как указано свидетельстве о рождении, паспорт привели в соответствие. Вам не о чем переживать. См. Постановление Правительства РФ от 8 июля 1997 г. N 828 "Об утверждении Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, образца бланка и описания паспорта гражданина Российской Федерации" С изменениями и дополнениями на 18 ноября 2016 г., 20 ноября 2018 г. Приказ Министерства внутренних дел Российской Федерации от 31 декабря 2003 г. N 1047 г. Москва О внесении изменений и дополнений в приказ МВД России от 26 мая 1997 г. N 310 "Об утверждении Инструкции о порядке оформления и выдачи паспортов гражданам Российской Федерации для выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"

В графе "Место рождения" указывается наименование республики, края, области, города (на основании записи в паспорте гражданина Российской Федерации, удостоверяющем личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации), где родился владелец паспорта. В дублирующей части, если владелец паспорта родился до 6 февраля 1992 года, производится запись "USSR".

Удачи вам и всего хорошего, с уважением юрист Лигостаева А.В.