Фонд требует регистрацию для выплаты пенсии - есть ли такое правило и как отсутствие регистрации может повлиять на получение накопительной части пенсии

Нет, конечно, просто жалобу подайте в Комитет финансового надзора Банка России.

Статья 36.21. Порядок выплаты правопреемникам средств пенсионных накоплений застрахованных лиц

1. В случае, если смерть застрахованного лица наступила до назначения ему накопительной пенсии и (или) срочной пенсионной выплаты либо до корректировки размера указанной пенсии и (или) срочной пенсионной выплаты с учетом дополнительных пенсионных накоплений, средства, учтенные на его пенсионном счете накопительной пенсии (за исключением средств (части средств) материнского (семейного) капитала, направленных на формирование накопительной пенсии, дохода от их инвестирования), выплачиваются правопреемникам застрахованного лица в соответствии с настоящим Федеральным законом, страховыми правилами фонда и договором об обязательном пенсионном страховании фонда с застрахованным лицом.

Выплата средств пенсионных накоплений умершего застрахованного лица производится правопреемникам, указанным в договоре об обязательном пенсионном страховании либо в заявлении застрахованного лица о распределении средств пенсионных накоплений, поданном в фонд, в соответствии с размером долей, определенным застрахованным лицом в таком договоре или заявлении. При отсутствии указания на размер долей или отсутствии в договоре указания о распределении средств пенсионных накоплений и отсутствии заявления о распределении средств пенсионных накоплений средства пенсионных накоплений, учтенные на пенсионном счете накопительной части трудовой пенсии и подлежащие выплате правопреемникам, распределяются между ними в равных долях.

3. Выплата средств, учтенных на пенсионном счете накопительной пенсии застрахованного лица, производится правопреемникам умершего застрахованного лица при условии обращения за указанной выплатой в фонд в течение шести месяцев со дня смерти застрахованного лица.

Порядок расчета сумм средств пенсионных накоплений, подлежащих выплате фондом правопреемникам умерших застрахованных лиц, порядок передачи средств пенсионных накоплений в резерв фонда по обязательному пенсионному страхованию и порядок выплаты средств пенсионных накоплений из указанного резерва устанавливаются Правительством Российской Федерации.