По итечении 3 месяцев могу ли я продлить этот срок еще на три месяца?

Нет.

ТК РФ.

" Статья 70. Испытание при приеме на работу

При заключении трудового договора соглашением сторон может быть обусловлено испытание работника в целях проверки его соответствия поручаемой работе.

Условие об испытании должно быть указано в трудовом договоре. Отсутствие в трудовом договоре условия об испытании означает, что работник принят без испытания.

В период испытания на работника распространяются положения настоящего Кодекса, законов, иных нормативных правовых актов, локальных нормативных актов, содержащих нормы трудового права, коллективного договора, соглашения.

Испытание при приеме на работу не устанавливается для:

лиц, поступающих на работу по конкурсу на замещение соответствующей должности, проведенному в порядке, установленном законом;

беременных женщин;

лиц, не достигших возраста восемнадцати лет;

лиц, окончивших образовательные учреждения начального, среднего и высшего профессионального образования и впервые поступающих на работу по полученной специальности;

лиц, избранных (выбранных) на выборную должность на оплачиваемую работу;

лиц, приглашенных на работу в порядке перевода от другого работодателя по согласованию между работодателями;

в иных случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами и коллективным договором.

Срок испытания не может превышать трех месяцев, а для руководителей организаций и их заместителей, главных бухгалтеров и их заместителей, руководителей филиалов, представительств и иных обособленных структурных подразделений организаций - шести месяцев, если иное не установлено федеральным законом.

В срок испытания не засчитываются период временной нетрудоспособности работника и другие периоды, когда он фактически отсутствовал на работе".