Можно ли получить консультацию врача для МСЭ в частной клинике. И если нельзя, то на каком законе это основано?

Может получить любую консультацию в любой клинике, имеющей лицензию на определенный вид медицинской деятельности, и предоставить в бюро МСЭ.

Постановление Правительства РФ от 20.02.2006 N 95 (ред. от 22.03.2019) "О порядке и условиях признания лица инвалидом"

15. Гражданин направляется на медико-социальную экспертизу медицинской организацией независимо от ее организационно-правовой формы, органом, осуществляющим пенсионное обеспечение, либо органом социальной защиты населения.

16. Медицинская организация направляет гражданина на медико-социальную экспертизу после проведения необходимых диагностических, лечебных и реабилитационных или абилитационных мероприятий при наличии данных, подтверждающих стойкое нарушение функций организма, обусловленное заболеваниями, последствиями травм или дефектами.

При этом в направлении на медико-социальную экспертизу, форма которого утверждается Министерством труда и социальной защиты Российской Федерации и Министерством здравоохранения Российской Федерации, указываются данные о состоянии здоровья гражданина, отражающие степень нарушения функций органов и систем, состояние компенсаторных возможностей организма, сведения о результатах медицинских обследований, необходимых для получения клинико-функциональных данных в зависимости от заболевания в целях проведения медико-социальной экспертизы, а также результаты проведенных реабилитационных или абилитационных мероприятий.

Перечень медицинских обследований, необходимых для получения клинико-функциональных данных в зависимости от заболевания в целях проведения медико-социальной экспертизы, утверждается Министерством труда и социальной защиты Российской Федерации и Министерством здравоохранения Российской Федерации.

18. Медицинские организации, органы, осуществляющие пенсионное обеспечение, а также органы социальной защиты населения несут ответственность за достоверность и полноту сведений, указанных в направлении на медико-социальную экспертизу, в порядке, установленном законодательством Российской Федерации.

19. В случае если медицинская организация, орган, осуществляющий пенсионное обеспечение, либо орган социальной защиты населения отказали гражданину в направлении на медико-социальную экспертизу, ему выдается справка, на основании которой гражданин (его законный или уполномоченный представитель) имеет право обратиться в бюро самостоятельно.

Специалисты бюро проводят осмотр гражданина и по его результатам составляют программу дополнительного обследования гражданина и проведения реабилитационных или абилитационных мероприятий, после выполнения которой рассматривают вопрос о наличии у него ограничений жизнедеятельности.