Возможно ли оспорить неправильную запись в свидетельстве о рождении через суд или прокуратуру в Российской Федерации?

Здесь в суде Вы можете установить факт, имеющий юридическое значение. Например, что в свидетельстве опечатка и имя следует писать с буквой Я. И только в том случае, если докажете, что это именно опечатка. Это реально сделать. Обратитесь к адвокату. Но саму ошибку исправить здесь вы не сможете.