Реклама детского центра на личной машине - правомерно ли это?

Щит вы установить не можете. ГАИ Вас останавливать будет. А по поводу рекламы - да можете. Если это не запрещено Вашим договором франшизы и с соблюдением закона. См. ниже

Федеральный закон от 13.03.2006 N 38-ФЗ (ред. от 01.05.2019) "О рекламе" (с изм. и доп., вступ. В силу с 12.05.2019)

Статья 20. Реклама на транспортных средствах и с их использованием

1. Размещение рекламы на транспортном средстве осуществляется на основании договора, заключаемого рекламодателем с собственником транспортного средства или уполномоченным им лицом либо с лицом, обладающим иным вещным правом на транспортное средство.

2. Использование транспортных средств исключительно или преимущественно в качестве передвижных рекламных конструкций, в том числе переоборудование транспортных средств для распространения рекламы, в результате которого транспортные средства полностью или частично утратили функции, для выполнения которых они были предназначены, переоборудование кузовов транспортных средств с приданием им вида определенного товара, запрещается.

(часть 2 в ред. Федерального закона от 07.05.2013 N 98-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3. Запрещается размещение рекламы на транспортных средствах:

1) специальных и оперативных служб с предусмотренной требованиями технического регламента определенной цветографической окраской;

2) оборудованных устройствами для подачи специальных световых и звуковых сигналов;

3) федеральной почтовой связи, на боковых поверхностях которых расположены по диагонали белые полосы на синем фоне;

4) предназначенных для перевозки опасных грузов.

4. Размещение на транспортных средствах отличительных знаков, указывающих на их принадлежность каким-либо лицам, не является рекламой.

Оклеить авто информацией рекламного характера Вы можете, закон не запрещает.

А по поводу баннера на крыше авто, он будет являться грузом, поэтому должен соответствовать нормам перевозки грузов:

Постановление Правительства РФ от 23.10.1993 N 1090 (ред. от 04.12.2018) "О Правилах дорожного движения" (вместе с "Основными положениями по допуску транспортных средств к эксплуатации и обязанности должностных лиц по обеспечению безопасности...

ПДД РФ, 23. Перевозка грузов

23.1. Масса перевозимого груза и распределение нагрузки по осям не должны превышать величин, установленных предприятием-изготовителем для данного транспортного средства.

23.2. Перед началом и во время движения водитель обязан контролировать размещение, крепление и состояние груза во избежание его падения, создания помех для движения.

23.3. Перевозка груза допускается при условии, что он:

не ограничивает водителю обзор;

не затрудняет управление и не нарушает устойчивость транспортного средства;

не закрывает внешние световые приборы и световозвращатели, регистрационные и опознавательные знаки, а также не препятствует восприятию сигналов, подаваемых рукой;

не создает шум, не пылит, не загрязняет дорогу и окружающую среду.

Если состояние и размещение груза не удовлетворяют указанным требованиям, водитель обязан принять меры к устранению нарушений перечисленных правил перевозки либо прекратить дальнейшее движение.

23.4. Груз, выступающий за габариты транспортного средства спереди и сзади более чем на 1 м или сбоку более чем на 0,4 м от внешнего края габаритного огня, должен быть обозначен опознавательными знаками "Крупногабаритный груз", а в темное время суток и в условиях недостаточной видимости, кроме того, спереди - фонарем или световозвращателем белого цвета, сзади - фонарем или световозвращателем красного цвета.

23.5. Перевозка тяжеловесных и опасных грузов, движение транспортного средства, габаритные параметры которого с грузом или без него превышают по ширине 2,55 м (2,6 м - для рефрижераторов и изотермических кузовов), по высоте 4 м от поверхности проезжей части, по длине (включая один прицеп) 20 м, либо движение транспортного средства с грузом, выступающим за заднюю точку габарита транспортного средства более чем на 2 м, а также движение автопоездов с двумя и более прицепами осуществляются в соответствии со специальными правилами.

Международные автомобильные перевозки осуществляются в соответствии с требованиями к транспортным средствам и правилами перевозки, установленными международными договорами Российской Федерации.

(п. 23.5 в ред. Постановления Правительства РФ от 24.01.2001 N 67)

(см. текст в предыдущей редакции)

Можете установить такой щит с учетом требований п.23.3 ПДД РФ. Никаких проблем.