Может ли бабушка из Смоленска заботиться о внуке после операции в Москве?

Да, может взять к себе. И уйти на больничный.

Положениям Федерального закона от 29 декабря 2006 г. N 255-ФЗ "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством" это не противоречит.

Согласно Федеральному закону 255-ФЗ больничный по уходу за ребенком может взять любой член семьи, в том числе и работающая бабушка. Если мама, папа не могут отлучиться от работы, тогда обязанность по лечению ребенка может взять на себя бабушка.

Да, у бабушки есть возможность взять отпуск по уходу за внуком на основании ст. 5-6 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 27.12.2018) "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством":

5. Пособие по временной нетрудоспособности при необходимости осуществления ухода за больным членом семьи выплачивается застрахованному лицу:

2) в случае ухода за больным ребенком в возрасте от 7 до 15 лет - за период до 15 календарных дней по каждому случаю лечения ребенка в амбулаторных условиях или совместного пребывания с ребенком в медицинской организации при оказании ему медицинской помощи в стационарных условиях, но не более чем за 45 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим ребенком;

3) в случае ухода за больным ребенком-инвалидом в возрасте до 18 лет - за весь период лечения ребенка в амбулаторных условиях или совместного пребывания с ребенком в медицинской организации при оказании ему медицинской помощи в стационарных условиях, но не более чем за 120 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим ребенком;

Больничный лист по уходу за ребенком может взять любой родственник, фактически осуществляющий за ним уход во время болезни.

При этом работодатель не имеет права требовать какие-либо документы, подтверждающие родство, на основании ч. 5 ст. 13 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 27.12.2018) "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством"

5. Назначение и выплата пособий по временной нетрудоспособности, по беременности и родам осуществляются на основании листка нетрудоспособности, выданного медицинской организацией в форме документа на бумажном носителе или (с письменного согласия застрахованного лица) сформированного и размещенного в информационной системе страховщика в форме электронного документа, подписанного с использованием усиленной квалифицированной электронной подписи медицинским работником и медицинской организацией, в случае, если медицинская организация и страхователь являются участниками системы информационного взаимодействия по обмену сведениями в целях формирования листка нетрудоспособности в форме электронного документа. Для назначения и выплаты указанных пособий застрахованное лицо представляет справку (справки) о сумме заработка, из которого должно быть исчислено пособие, с места (мест) работы (службы, иной деятельности) у другого страхователя (у других страхователей), а для назначения и выплаты указанных пособий территориальным органом страховщика - справку (справки) о сумме заработка, из которого должно быть исчислено пособие, и определяемые федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере труда и социальной защиты населения, документы, подтверждающие страховой стаж. Форма, порядок выдачи и порядок оформления листков нетрудоспособности, а также порядок формирования листков нетрудоспособности в форме электронного документа устанавливается федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере здравоохранения, по согласованию с федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере труда и социальной защиты населения, и Фондом социального страхования Российской Федерации. Порядок информационного взаимодействия страховщика, страхователей, медицинских организаций и федеральных государственных учреждений медико-социальной экспертизы по обмену сведениями в целях формирования листка нетрудоспособности в форме электронного документа утверждается Правительством Российской Федерации.

Неважно, где получен лист нетрудоспособности, бабушка ребенка может его предъявить своему работодателю даже находясь в Смоленске, если фактически она осуществляла уход за ребенком.

Что касается сроков:

Статья 6. Условия и продолжительность выплаты пособия по временной нетрудоспособности

5. Пособие по временной нетрудоспособности при необходимости осуществления ухода за больным членом семьи выплачивается застрахованному лицу:

3) в случае ухода за больным ребенком-инвалидом в возрасте до 18 лет - за весь период лечения ребенка в амбулаторных условиях или совместного пребывания с ребенком в медицинской организации при оказании ему медицинской помощи в стационарных условиях, но не более чем за 120 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим ребенком.

Если вы работайте то можете оформить больничный по уходу за внуком

Работающий родитель (опекун, попечитель, иной родственник) может получить оплачиваемый листок нетрудоспособности, если заболел или травмировался ребенок. Информация, сколько может продлиться больничный в разных ситуациях, содержится в Приказе Минздравсоцразвития от 29.06.2011 № 624 н, а правила оплаты — в Федеральном законе от 29.12.2006 № 255-ФЗ.