Я работаю в бюджетной организации, оплатят ли проезд моему ребенку к месту отдыха, если мы отдыхали в разных городах.

Могут отказать. Компенсация проезда к месту отдыха - это исключительно Ваша прерогатива как работника, а право на оплату проезда Ваших детей - это Ваше право, производное от Вашего основного права, предусмотренного трудовым законодательством. В ст. 325 Трудового кодекса РФ конкретно говорится о месте использования отпуска, а не о месте отдыха Вас и членов Вашей семьи, т.е. имеется в виду только место Вашего отпуска. Поэтому если в оплате проезда ребёнка откажут, но это будет правомерным.