Если я подам на решение суда апелляционную жалобу, и пока́ будет рассмотрение сможет ли истец начать взыскивать?

Нет! Апелляционная жалоба — это жалоба на не вступившее в законную силу решение суда. А исполнение и взыскание производится только, когда решение суда вступит в законную силу.

Нет конечно, пока решение суда не вступит в законную силу.

По общему правилу, решение суда вступает в законную силу только после рассмотрения апелляционной жалобы. Соответственно и взыскание по исполнительному документу только после этого. Но

ГПК РФ Статья 212. Право суда обратить решение к немедленному исполнению

1. Суд может по просьбе истца обратить к немедленному исполнению решение, если вследствие особых обстоятельств замедление его исполнения может привести к значительному ущербу для взыскателя или исполнение может оказаться невозможным. При допущении немедленного исполнения решения суд может потребовать от истца обеспечения поворота его исполнения на случай отмены решения суда. Вопрос о немедленном исполнении решения суда может быть рассмотрен одновременно с принятием решения суда.

1.1. В деле о сносе самовольной постройки или ее приведении в соответствие с предельными параметрами разрешенного строительства, реконструкции объектов капитального строительства, установленными правилами землепользования и застройки, документацией по планировке территории, или обязательными требованиями к параметрам объектов капитального строительства, установленными федеральными законами, суд по просьбе истца может обратить решение к немедленному исполнению, если самовольная постройка существенно угрожает жизни и здоровью граждан и замедление исполнения решения может привести к значительному ущербу для неопределенного круга лиц.

(часть 1.1 введена Федеральным законом от 03.08.2018 N 340-ФЗ)

2. Вопрос о допущении немедленного исполнения решения суда разрешается в судебном заседании. Лица, участвующие в деле, извещаются о времени и месте судебного заседания, однако их неявка не является препятствием к разрешению вопроса о немедленном исполнении решения суда.

3. На определение суда о немедленном исполнении решения суда может быть подана частная жалоба. Подача частной жалобы на определение о немедленном исполнении решения суда не приостанавливает исполнение этого определения.