Бывший зять хочет лишить моего внука прописки в квартире, оформленной в его пользу - допустимо ли такое в России?

Да, можно. Основание ст. 30, 35 ГК РФ.

Увы, поскольку сын бывшего зятя не является родственником нового собственника то, ч.2 ст.31 Жилищного кодекса не применима

Члены семьи собственника жилого помещения имеют право пользования данным жилым помещением наравне с его собственником, если иное не установлено соглашением между собственником и членами его семьи. Члены семьи собственника жилого помещения обязаны использовать данное жилое помещение по назначению, обеспечивать его сохранность.

Поэтому новый собственник имеет право, руководствуясь ч.1 ст. 35 ЖК обратиться в суд с требованием о выселении.

В случае прекращения у гражданина права пользования жилым помещением по основаниям, предусмотренным настоящим Кодексом, другими федеральными законами, договором, или на основании решения суда данный гражданин обязан освободить соответствующее жилое помещение (прекратить пользоваться им). Если данный гражданин в срок, установленный собственником соответствующего жилого помещения, не освобождает указанное жилое помещение, он подлежит выселению по требованию собственника на основании решения суда.

Не уточнили как приобреталась квартира отцом. Если приватизация была, то ребёнок должен иметь долю в квартире, а если просто регистрация в собственности отца, то увы, новый собственник вправе снять по суду с регистрации не члена своей семьи, а также взыскать оплату за ЖКУ.