Мировой суд лишил меня водительских прав на 1 год, жалобы в других судах были оставлены без изменения.

Вам правильно ответили, со задачи прав пойдет срок лишения.

Ст. 32.7 КоАП РФ

1. Течение срока лишения специального права начинается со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания в виде лишения соответствующего специального права.

1.1. В течение трех рабочих дней со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания в виде лишения соответствующего специального права лицо, лишенное специального права, должно сдать документы, предусмотренные частями 1 - 3.1 статьи 32.6 настоящего Кодекса, в орган, исполняющий этот вид административного наказания, а в случае утраты указанных документов заявить об этом в указанный орган в тот же срок.

(в ред. Федеральных законов от 01.07.2010 N 145-ФЗ, от 23.07.2013 N 196-ФЗ, от 14.10.2014 N 307-ФЗ)

2. В случае уклонения лица, лишенного специального права, от сдачи соответствующего удостоверения (специального разрешения) или иных документов срок лишения специального права прерывается. Течение прерванного срока лишения специального права продолжается со дня сдачи лицом либо изъятия у него соответствующего удостоверения (специального разрешения) или иных документов, а равно получения органом, исполняющим этот вид административного наказания, заявления лица об утрате указанных документов.

То есть, отсчет срока лишения права начинается со дня сдачи в/у.

Сдать его Вы должны были после вынесения судебного акта районным судом.