Можно ли стать квартиросъёмщиком без согласия прописанного, если он сидит в тюрьме долго?

Вселить в квартиру, занимаемую по договору соцнайма, может сам наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих. Для вселения лиц, не являющихся супругом, детьми или родителями нанимателя, требуется также согласие наймодателя. То, что наниматель отбывает наказание, не меняет ситуацию. Без согласия нанимателя вы ничего не сделаете.

ЖК РФ Статья 70. Право нанимателя на вселение в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма других граждан в качестве членов своей семьи

1. Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя - других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи. Наймодатель может запретить вселение граждан в качестве проживающих совместно с нанимателем членов его семьи в случае, если после их вселения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного члена семьи составит менее учетной нормы. На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.