Как оформить льготы по жкх при переводе свекрови-учителя в Москву?

Зависит все от региона. Но по сути правоотношений - оформлена, собственность на квартиру или найм - на нее, обязанность по уплате только тогда доказуема.

Но - обязательным условием будет проживание в сельской местности.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 26.07.2019) "Об образовании в Российской Федерации"

Статья 47. Правовой статус педагогических работников. Права и свободы педагогических работников, гарантии их реализации

8. Педагогические работники, проживающие и работающие в сельских населенных пунктах, рабочих поселках (поселках городского типа), имеют право на предоставление компенсации расходов на оплату жилых помещений, отопления и освещения. Размер, условия и порядок возмещения расходов, связанных с предоставлением указанных мер социальной поддержки педагогическим работникам федеральных государственных образовательных организаций, устанавливаются Правительством Российской Федерации и обеспечиваются за счет бюджетных ассигнований федерального бюджета, а педагогическим работникам образовательных организаций субъектов Российской Федерации, муниципальных образовательных организаций устанавливаются законодательством субъектов Российской Федерации и обеспечиваются за счет бюджетных ассигнований бюджетов субъектов Российской Федерации.