Я работаю учителем на полставки. Работаю три дня в неделю. Должна ли я за остальные дни писать заявление на выходной?

Режим рабочего времени должен предусматривать продолжительность рабочей недели (пятидневная с двумя выходными днями, шестидневная с одним выходным днем, рабочая неделя с предоставлением выходных дней по скользящему графику, неполная рабочая неделя).

По соглашению сторон трудового договора работнику как при приеме на работу, так и впоследствии может устанавливаться неполное рабочее время (неполный рабочий день (смена) и (или) неполная рабочая неделя, в том числе с разделением рабочего дня на части). Неполное рабочее время может устанавливаться как без ограничения срока, так и на любой согласованный сторонами трудового договора срок (ст. 93 ТК РФ)

Таким образом, за пределами рабочих дней, для Вас установлены выходные. Дополнительно оформлять выходные дни заявлениями закон не предусматривает.