Предпенсионер требует 2 дня освобождения от работы за прошедшую диспансеризацию в апреле - есть ли у него на это право?

Нет. Дни даются именно на диспансеризацию, это не выходные дни и не отгулы, переносу не подлежат. Предоставление дней сначала согласуется с работодателем, потом используется.

Как он в рабочее время прошел? Прогулы ему ставили?

Статья 185.1 ТК РФ. Гарантии работникам при прохождении диспансеризации

Работники при прохождении диспансеризации в порядке, предусмотренном законодательством в сфере охраны здоровья, имеют право на освобождение от работы на один рабочий день один раз в три года с сохранением за ними места работы (должности) и среднего заработка.

Работники, не достигшие возраста, дающего право на назначение пенсии по старости, в том числе досрочно, в течение пяти лет до наступления такого возраста и работники, являющиеся получателями пенсии по старости или пенсии за выслугу лет, при прохождении диспансеризации в порядке, предусмотренном законодательством в сфере охраны здоровья, имеют право на освобождение от работы на два рабочих дня один раз в год с сохранением за ними места работы (должности) и среднего заработка.

Работник освобождается от работы для прохождения диспансеризации на основании его письменного заявления, при этом день (дни) освобождения от работы согласовывается (согласовываются) с работодателем.