Может ли государственная организация расторгнуть контракт с сотрудником на больничном более 4-х месяцев?

Да, может. Статьей 37 федерального закона 79-фз предусмотрено расторжение служебного контракта по инициативе представителя нанимателя в случае нахождения на больничном более четырех месяцев подряд. В вашем случае можно один больничный закрыть через четеры месяца пятницей, а следующий открыть понедельником, тогда срок не будет считаться подряд и можно избежать увольнения по этому основанию, договориться нужно с лечащим врачом.