Могу ли заявлять отвод судье не в начале судебного заседания?

Нет. Все заявления, ходатайства, жалобы и проч., могут быть сделаны исключительно только после того, как судья объявит заседание открытым.

Хотя, Вы имеете возможность подать заявление Председателю суда (в любое время); но вряд ли его удовлетворят. Основания для отвода должны быть "железобетонными".

С уважением.

--- Здравствуйте, а толку с того отвода? Если для него нет никаких оснований, то этот же судья его и не удовлетворит. Или вы решили что не нравится судья, заявлю ему отвод? Юристам нужно в суды ходить, а не дилетантам. Читайте, какие основания должны быть для отвода суда. Если их нет, то этот же судья, вам и откажет. См. "Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 02.12.2019)

ГПК РФ Статья 16. Основания для отвода судьи

1. Мировой судья, а также судья не может рассматривать дело и подлежит отводу, если он:

1) при предыдущем рассмотрении данного дела участвовал в нем в качестве прокурора, помощника судьи, секретаря судебного заседания, представителя, свидетеля, эксперта, специалиста, переводчика;

(в ред. Федерального закона от 29.07.2018 N 265-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1.1) являлся судебным примирителем по данному делу;

(п. 1.1 введен Федеральным законом от 26.07.2019 N 197-ФЗ)

2) является родственником или свойственником кого-либо из лиц, участвующих в деле, либо их представителей;

3) лично, прямо или косвенно заинтересован в исходе дела либо имеются иные обстоятельства, вызывающие сомнение в его объективности и беспристрастности.

2. В состав суда, рассматривающего дело, не могут входить лица, состоящие в родстве между собой.

3. Наличие информации о вне процессуальном обращении, поступившем судье по гражданскому делу, находящемуся в его производстве, само по себе не может рассматриваться в качестве основания для отвода судьи.

(часть 3 введена Федеральным законом от 02.07.2013 N 166-ФЗ)

С уважением юрист Лигостаева А.В.