Страховая не обязана выдавать на руки заключение экспертизы - что делать?

Она не может - она должна выплатить.

Но при этом данная выплата не влияет на Ваше право требовать доплаты.

Правила страхования ОСАГО:

4.22. Страховщик рассматривает заявление потерпевшего о страховом возмещении в течение 20 календарных дней, за исключением нерабочих праздничных дней.

В течение указанного срока страховщик обязан составить документ, подтверждающий решение страховщика об осуществлении страхового возмещения или прямого возмещения убытков, фиксирующий причины и обстоятельства дорожно-транспортного происшествия, являющегося страховым случаем, его последствия, характер и размер понесенного ущерба, размер подлежащей выплате страховой суммы (далее - акт о страховом случае), и произвести страховую выплату, а в случае возмещения вреда в натуре, выдать потерпевшему направление на ремонт (в последнем случае акт о страховом случае не составляется страховщиком) либо направить в письменном виде извещение об отказе в страховой выплате или отказе в выдаче направления на ремонт с указанием причин отказа.

4.25. В случае возникновения разногласий между страховщиком и потерпевшим относительно размера вреда, подлежащего возмещению по договору обязательного страхования, страховщик в любом случае обязан произвести страховую выплату в неоспариваемой им части.