Вопросы гражданства и трудовых договоров в Армении - можно ли заключить новый договор на 16-ый день и продлить регистрацию на год?

Да вы можете продлить время пребывания на территории РФ с учетом действия трудового договора согласно ст.5 ст.13.2,13.3

Федерального закона от 25.07.2002 N 115-ФЗ (ред. от 27.12.2019) "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации"

срок временного пребывания в Российской Федерации членов его семьи определяются сроком действия разрешения на работу, выданного такому высококвалифицированному специалисту в соответствии со статьей 13.2 настоящего Федерального закона.

Статья 5. Временное пребывание иностранных граждан в Российской Федерации

1. Срок временного пребывания иностранного гражданина в Российской Федерации определяется сроком действия выданной ему визы, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Федеральным законом.

Срок временного пребывания в Российской Федерации иностранного гражданина, прибывшего в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, не может превышать девяносто суток суммарно в течение каждого периода в сто восемьдесят суток, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Федеральным законом, а также в случае, если такой срок не продлен в соответствии с настоящим Федеральным законом. При этом непрерывный срок временного пребывания в Российской Федерации указанного иностранного гражданина не может превышать девяносто суток.