МФО подала кассацию после погашения долга - может ли владелец квартиры снять обременение на основании решения суда?

Исходя из изложенной вами информации, могу сказать, что хотя залог и прекращён, т.к. фактом полной выплаты долга прекращено обеспеченное залогом обязательство (займ), однако Росреестр откажет в погашении регистрационной записи об ипотеке, поскольку на основании ч.1 ст.25 ФЗ "Об ипотеке" в случае, если выдавалась закладная, то запись об ипотеке погашается, если в Росреестр предоставляются:

совместное заявление залогодателя и законного владельца закладной с одновременным представлением документарной закладной или выписки по счету депо при условии, что документарная закладная обездвижена или выдавалась электронная закладная;

заявление законного владельца закладной с одновременным представлением документарной закладной или выписки по счету депо при условии, что документарная закладная обездвижена или выдавалась электронная закладная;

заявление залогодателя с одновременным представлением документарной закладной, содержащей отметку владельца закладной об исполнении обеспеченного ипотекой обязательства в полном объеме.

Ничего этого вы предоставить не сможете. Поэтому, придётся обращаться в суд с иском о прекращении залога, и погашать запись об ипотеке уже на основании решения суд. Свои судебные расходы вы сможете взыскать с МФО. Не хотят по-хорошему - понесут дополнительные расходы.