Законно ли уволить мать-одиночку с маленьким ребенком (6 лет) на испытательном сроке?

Не видя документов нельзя сказать о законности. Очень часто работодатель нарушает порядок увольнения и есть возможность через суд восстановиться получить зарплату за время вынужденного прогула ну и потом увольняться по собственному желанию.

Условие об испытании должно быть прописать в трудовом договоре и в приказе о приеме на работу (абз. 3 ч. 4 ст. 57 Трудового кодекса РФ).

Не прописано в трудовом договоре 100% восстановление на работе.

Смотрите порядок увольнения, ст.70 ТК РФ Испытание при приеме на работу, там есть свои хитрости например:

Испытание при приеме на работу не устанавливается для:

беременных женщин и женщин, имеющих детей в возрасте до полутора лет;

лиц, получивших среднее профессиональное образование или высшее образование по имеющим государственную аккредитацию образовательным программам и впервые поступающих на работу по полученной специальности в течение одного года со дня получения профессионального образования соответствующего уровня;

лиц, заключающих трудовой договор на срок до двух месяцев;

иных лиц в случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами, коллективным договором.

При заключении трудового договора на срок от двух до шести месяцев испытание не может превышать двух недель.