Могу ли я поставить автомобиль на учет после двух штрафов за несвоевременную постановку?

Вы считаетесь подвергнуты административному наказанию в течении года:

КоАП РФ Статья 4.6. Срок, в течение которого лицо считается подвергнутым административному наказанию

Лицо, которому назначено административное наказание за совершение административного правонарушения, считается подвергнутым данному наказанию со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания до истечения одного года со дня окончания исполнения данного постановления.

Но это нисколько Вас не спасает - если вас остановят и снова начнут выписывать штраф за несвоевременную постановку на учет, то будут это делать как первый раз, вероятно назначат минимальную санкцию по статье.

А вот если вы не оплатили штраф, то согласно ч. 1 ст. 32.2 КоАП РФ административный штраф должен быть уплачен лицом, привлеченным к административной ответственности, не позднее шестидесяти дней со дня вступления постановления о наложении административного штрафа в законную силу либо со дня истечения срока отсрочки или срока рассрочки.

В эти 60 дней вас могли задержать и составить протокол за неуплату административного штрафа. При чем, этот протокол рассматривает суд.

Чтобы отпала полностью необходимость оплаты штрафа должно пройти 2 года со дня вступления постановления в законную силу.

КоАП РФ Статья 31.9. Давность исполнения постановления о назначении административного наказания

1. Постановление о назначении административного наказания не подлежит исполнению в случае, если это постановление не было приведено в исполнение в течение двух лет со дня его вступления в законную силу.