Скажите можно не менять свидетельство о рождении ребёнка, если отцовство установлено?

Вам должны выдать отдельное свидетельство об установлении отцовства. Федеральный закон от 15 ноября 1997 г. N 143-ФЗ «Об актах гражданского состояния» (с изменениями и дополнениями)

Статья 48. Основания для государственной регистрации установления отцовства Основанием для государственной регистрации установления отцовства является:

совместное заявление об установлении отцовства отца и матери ребенка, не состоящих между собой в браке на момент рождения ребенка;

заявление об установлении отцовства отца ребенка, не состоящего в браке с матерью ребенка на момент рождения ребенка, в случаях, предусмотренных пунктом 1 статьи 51 настоящего Федерального закона;

решение суда об установлении отцовства или об установлении факта признания отцовства, вступившее в законную силу.

Статья 49. Место государственной регистрации установления отцовства Государственная регистрация установления отцовства производится органом записи актов гражданского состояния по месту жительства отца или матери ребенка, не состоящих между собой в браке на момент рождения ребенка, либо по месту государственной регистрации рождения ребенка, а в случаях, предусмотренных статьей 54 настоящего Федерального закона, органом записи актов гражданского состояния по месту вынесения решения суда об установлении отцовства или об установлении факта признания отцовства.

Статья 50. Государственная регистрация установления отцовства на основании совместного заявления отца и матери ребенка, не состоящих между собой в браке на момент рождения ребенка

1. Совместное заявление об установлении отцовства отца и матери ребенка, не состоящих между собой в браке на момент рождения ребенка, подается ими в письменной форме в орган записи актов гражданского состояния.

1.1. Совместное заявление об установлении отцовства может быть направлено в орган записи актов гражданского состояния в форме электронного документа через единый портал государственных и муниципальных услуг. Заявление об установлении отцовства, которое направляется в форме электронного документа, подписывается простой электронной подписью каждого заявителя.

2. Совместное заявление об установлении отцовства может быть подано при государственной регистрации рождения ребенка, а также после государственной регистрации рождения ребенка.

3. В случае, если имеются основания предполагать, что подача совместного заявления об установлении отцовства после рождения ребенка может оказаться невозможной или затруднительной, будущие отец и мать ребенка, не состоящие между собой в браке на момент рождения ребенка, могут подать такое заявление во время беременности матери.

При наличии такого заявления государственная регистрация установления отцовства производится одновременно с государственной регистрацией рождения ребенка и новое заявление не требуется, если до государственной регистрации рождения ребенка ранее поданное заявление не было отозвано отцом или матерью.