Если у меня договор соцнайма жилья, то надо ли мне оплачивать вывоз мусора.

Да, конечно нужно. Вывоз ТКО - это коммунальная услуга.

ЖК РФ Статья 154. Структура платы за жилое помещение и коммунальные услуги

1. Плата за жилое помещение и коммунальные услуги для нанимателя жилого помещения, занимаемого по договору социального найма или договору найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда, включает в себя:

1) плату за пользование жилым помещением (плата за наем);

2) плату за содержание жилого помещения, включающую в себя плату за услуги, работы по управлению многоквартирным домом, за содержание и текущий ремонт общего имущества в многоквартирном доме, а также за холодную воду, горячую воду, электрическую энергию, потребляемые при использовании и содержании общего имущества в многоквартирном доме, за отведение сточных вод в целях содержания общего имущества в многоквартирном доме (далее также - коммунальные ресурсы, потребляемые при использовании и содержании общего имущества в многоквартирном доме). Капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме проводится за счет собственника жилищного фонда;

4. Плата за коммунальные услуги включает в себя плату за холодную воду, горячую воду, электрическую энергию, тепловую энергию, газ, бытовой газ в баллонах, твердое топливо при наличии печного отопления, плату за отведение сточных вод, обращение с твердыми коммунальными отходами.