Как сохранить работоспособность ООО после смерти учредителя и директора?

Думаю вот это, должны предпринять наследники.

ГК РФ Статья 1171. Охрана наследства и управление им

1. Для защиты прав наследников, отказополучателей и других заинтересованных лиц исполнителем завещания или нотариусом по месту открытия наследства принимаются меры, указанные в статьях 1172 и 1173 настоящего Кодекса, и другие необходимые меры по охране наследства и управлению им.

2. Нотариус принимает меры по охране наследства и управлению им по заявлению одного или нескольких наследников, исполнителя завещания, органа местного самоуправления, органа опеки и попечительства или других лиц, действующих в интересах сохранения наследственного имущества. В случае, когда назначен исполнитель завещания (статья 1134), нотариус принимает меры по охране наследства и управлению им по согласованию с исполнителем завещания.

Исполнитель завещания принимает меры по охране наследства и управлению им самостоятельно либо по требованию одного или нескольких наследников.

3. В целях выявления состава наследства и его охраны банк.

Здравствуйте Марина Витальевна

Наследство открывается со дня смерти наследодателя (ст. 1113 ГК РФ), наследники должны обратится к нотариусу до истечения 6 месяцев со дня открытия наследства).

Пока наследники не вступят в права наследования долей в ООО и не смогут приступить к непосредственному управлению обществом, нотариус, занимающийся наследственным делом, может учредить доверительное управление обществом.

Любое заинтересованное лицо (например, родственники умершего) вправе обратится к нотариусу, который ведет наследственное дело, с просьбой об учреждении доверительного управления (ст. 1173 ГК РФ). Доверительное управление наследственным имуществом вводится на период, в течение которого наследники не имеют возможности самостоятельно управлять определенным имуществом, перешедшим к ним по наследству. Поскольку функция по учреждению доверительного управления предприятием возложена на нотариуса законом (ст. ст. 1014, 1026 ГК РФ), он обязан действовать при заключении договора как собственник организации.