Может ли гражданин ДНР имеющий ВНЖ в РФ оформиться самозанятым и нужно ли разрешение на работу?

Здравствуйте, Алексей! Согласно требованиям п.3 ст.5 Федерального закона от 27 ноября 2018 г. N 422-ФЗ "О проведении эксперимента по установлению специального налогового режима "Налог на профессиональный доход":

Постановка на учет в налоговом органе в качестве налогоплательщиков граждан других государств - членов Евразийского экономического союза осуществляется налоговым органом на основании заявления о постановке на учет при использовании доступа к личному кабинету налогоплательщика, если иное не предусмотрено настоящей статьей.

ДНР сюда не входит. Соответственно режим НПД не получится использовать. Рассмотрите вариант работы по патенту.

Согласно п.4 ст.13 Федерального закона от 25 июля 2002 г. N 115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации" работодатель и заказчик работ (услуг) имеют право привлекать и использовать иностранных работников при наличии разрешения на привлечение и использование иностранных работников, а иностранный гражданин имеет право осуществлять трудовую деятельность в случае, если он достиг возраста восемнадцати лет, при наличии разрешения на работу или патента. Указанный порядок не распространяется на иностранных граждан, постоянно или временно проживающих в Российской Федерации. Так что разрешения на работу не требуется при наличии вида на жительство.