Как ускорить получение ЕСВ при проживании с другой семьей?

В рамках права - нет.

Правила

предоставления единовременной социальной выплаты для приобретения или строительства жилого помещения сотрудникам органов внутренних дел Российской Федерации, лицам, проходящим службу в войсках национальной гвардии Российской Федерации и имеющим специальные звания полиции, а также иным лицам, имеющим право на получение такой выплаты

(утв. постановлением Правительства РФ от 30 декабря 2011 г. N 1223)

31. Единовременная выплата предоставляется сотрудникам в порядке очередности принятия на учет.

Сотрудники и граждане Российской Федерации, уволенные со службы с правом на пенсию, состоящие на учете в качестве имеющих право на получение единовременной выплаты и имеющие 3 и более детей, проживающих совместно с ними, либо удостоенные звания Героя Российской Федерации, либо являющиеся ветеранами боевых действий на территории Афганистана, либо имеющие одного и более ребенка-инвалида, проживающего совместно с ними, имеют преимущественное право на предоставление им единовременной выплаты перед сотрудниками и гражданами Российской Федерации, уволенными со службы с правом на пенсию, принятыми на учет в том же году.

Сотрудникам и гражданам Российской Федерации, уволенным со службы с правом на пенсию, состоящим на учете в качестве имеющих право на получение единовременной выплаты, которые имеют преимущественное право на предоставление единовременной выплаты, предоставление такой выплаты осуществляется в порядке очередности принятия их на учет.