Могут отпустить мне дать отпуск по семейным обстоятельствам?

Да, такая возможность предусмотрена ст. 128 ТК РФ:

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

В этом случае, всё на усмотрение работодателя.

Но согласно этой же статье, если Вы относитесь к следующим категориям, то работодатель обязан вам предоставить такой отпуск:

Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:

- участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;

- работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;

- родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, органов принудительного исполнения, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), - до 14 календарных дней в году;

- работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;

- работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней.