Имеет ли право директор школы, ставить классным руководителем начальных классов, студента, без законченного образования?

Если у студента есть право на занятие педагогической деятельности, то на основании указанного ниже, такое право у директора есть.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 24.03.2021) "Об образовании в Российской Федерации"

Статья 46. Право на занятие педагогической деятельностью

3. Лица, обучающиеся по образовательным программам высшего образования по специальностям и направлениям подготовки "Образование и педагогические науки" и успешно прошедшие промежуточную аттестацию не менее чем за три года обучения, допускаются к занятию педагогической деятельностью по основным общеобразовательным программам.

(часть 3 введена Федеральным законом от 08.06.2020 N 165-ФЗ)

Письмо Министерства просвещения РФ от 28 мая 2020 г. N ВБ-1159/08 "О направлении разъяснений"

Разъяснения

по применению законодательства Российской Федерации при осуществлении выплаты денежного вознаграждения за классное руководство педагогическим работникам общеобразовательных организаций

8. При недостаточном количестве педагогических работников или при отсутствии желания у отдельных из них осуществлять классное руководство на одного педагогического работника с его письменного согласия может быть возложено классное руководство в двух классах. Классное руководство может быть также возложено на одного педагогического работника в двух классах временно в связи с заменой длительно отсутствующего другого педагогического работника по болезни или другим причинам.

В случае необходимости классное руководство может также осуществляться учителями из числа руководителей и других работников общеобразовательной организации, ведущих учебные занятия в данном классе.