Можно ли поступить в вуз на военную кафедру после срочной службы и можно ли будет там подписать контракт?

У Вас получается, что срочная служба приравнивается к 3 месяцам (один день военной службы за два дня работы), то есть выслуги пока не хватает.

Федеральный закон от 27.05.1998 N 76-ФЗ (ред. от 03.07.2016) «О статусе военнослужащих» (с изм. и доп., вступ. В силу с 15.07.2016)

Статья 19. Право на образование и права в области культуры

1. Военнослужащие-граждане имеют право на обучение в военных профессиональных образовательных организациях, военных образовательных организациях высшего образования, иных организациях, находящихся в ведении федеральных органов исполнительной власти, в которых федеральным законом предусмотрена военная служба, и реализующих программы дополнительного профессионального образования и (или) программы профессионального обучения, а также на подготовку и защиту в установленном законодательством Российской Федерации порядке диссертаций на соискание ученой степени.

…

Военнослужащие, проходящие военную службу по контракту (за исключением офицеров), если непрерывная продолжительность военной службы по контракту составляет не менее трех лет, имеют право в порядке, определяемом Правительством Российской Федерации, на обучение по имеющим государственную аккредитацию образовательным программам среднего профессионального образования и высшего образования, а также на подготовительных отделениях федеральных государственных образовательных организаций высшего образования за счет средств федерального бюджета с освоением образовательных программ по очно-заочной или заочной форме обучения.

Федеральный закон от 27.05.1998 N 76-ФЗ (ред. от 03.07.2016) «О статусе военнослужащих» (с изм. и доп., вступ. В силу с 15.07.2016)

Статья 10. Право на труд

3. Время нахождения граждан на военной службе по контракту засчитывается в их общий трудовой стаж, включается в стаж государственной службы государственного служащего и в стаж работы по специальности из расчета один день военной службы за один день работы, а время нахождения граждан на военной службе по призыву (в том числе офицеров, призванных на военную службу в соответствии с указом Президента Российской Федерации) — один день военной службы за два дня работы.

Время прохождения военной службы военнослужащими на воинских должностях, связанных с повышенной опасностью для жизни и здоровья, засчитывается в специальный трудовой стаж при установлении пенсии по старости в связи с особыми условиями труда или пенсии за выслугу лет, если указанные должности включены в соответствующие перечни, утвержденные Правительством Российской Федерации.