Как продлить нахождение в России при ограничениях по визе и миграционным правилам?

Нет, Вам надо покинуть РФ в указанный срок.

Хотя вдруг оформите брак с гражданином РФ и сможете остаться! !

"здесь выяснилось что подача документов не раньше конца июня"

Как так то?

Неужели на сайте вуза нельзя было это увидеть?

Указ Президента РФ от 15.12.2020 N 791

"О продлении действия временных мер по урегулированию правового положения иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации в связи с угрозой дальнейшего распространения новой коронавирусной инфекции (COVID-19)"

По 15 июня 2021 года продлены сроки пребывания иностранных граждан в РФ в связи с коронавирусом

В частности, приостановлено течение сроков временного пребывания, временного или постоянного проживания иностранных граждан и лиц без гражданства в РФ, сроков, на которые иностранные граждане и лица без гражданства поставлены на учет по месту пребывания или зарегистрированы по месту жительства, в случае если такие сроки истекают в указанный период

Срок временного пребывания в Российской Федерации иностранного гражданина, прибывшего в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, не может превышать девяносто суток суммарно в течение каждого периода в сто восемьдесят суток, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Федеральным законом, а также в случае, если такой срок не продлен в соответствии с настоящим Федеральным законом. При этом непрерывный срок временного пребывания в Российской Федерации указанного иностранного гражданина не может превышать девяносто суток.

Временно пребывающий в Российской Федерации иностранный гражданин обязан выехать из Российской Федерации по истечении срока действия его визы или иного срока временного пребывания, установленного настоящим Федеральным законом или международным договором Российской Федерации, за исключением случаев, когда на день истечения указанных сроков ему продлены срок действия визы или срок временного пребывания, либо ему выданы новая виза, или разрешение на временное проживание, или вид на жительство, либо у него приняты заявление и иные документы, необходимые для получения им разрешения на временное проживание в порядке, предусмотренном статьей 6.1 настоящего Федерального закона, либо у него принято заявление о выдаче уведомления о возможности приема в гражданство Российской Федерации иностранного гражданина, признанного носителем русского языка в соответствии со статьей 33.1 Федерального закона от 31 мая 2002 года N 62-ФЗ "О гражданстве Российской Федерации", или заявление о выдаче вида на жительство, либо федеральным органом исполнительной власти в сфере внутренних дел принято ходатайство работодателя или заказчика работ (услуг) о привлечении иностранного гражданина к трудовой деятельности в качестве высококвалифицированного специалиста или заявление работодателя или заказчика работ (услуг) о продлении срока действия разрешения на работу, выданного такому высококвалифицированному специалисту в соответствии со статьей 13.2 настоящего Федерального закона, либо ходатайство образовательной организации, в которой иностранный гражданин обучается по очной или очно-заочной форме по основной профессиональной образовательной программе, имеющей государственную аккредитацию, или ходатайство федеральной государственной образовательной организации, в которой иностранный гражданин обучается на подготовительном отделении или подготовительном факультете по дополнительной общеобразовательной программе, обеспечивающей подготовку иностранных граждан к освоению основных профессиональных образовательных программ на русском языке (далее - подготовительный факультет федеральной государственной образовательной организации), о продлении срока временного пребывания в Российской Федерации такого иностранного гражданина.