Как решить проблему с прививками и медицинскими требованиями в детском саду?

Да, имеют право отказать

Отказ от туберкулинодиагностики (пробы Манту или диаскин-теста) не ограничивает права ребенка на посещение школы и садика, если у ребенка нет контакта с туберкулезным больным, и есть заключение врача-фтизиатра об отсутствии заболевания туберкулезом (письмо Минздрава России от 8 апреля 2019 г. № 15-2/927-07).

Постановление Главного государственного санитарного врача РФ от 22.10.2013 N 60

5.7. Дети, направленные на консультацию в противотуберкулезный диспансер, родители или законные представители которых не представили в течение 1 месяца с момента постановки пробы Манту заключение фтизиатра об отсутствии заболевания туберкулезом, не допускаются в детские организации.

Дети, туберкулинодиагностика которым не проводилась, допускаются в детскую организацию при наличии заключения врача-фтизиатра об отсутствии заболевания.

Определение Конституционного Суда РФ от 23 июня 2016 г. N 1229-О также отметило, что

Как следует из представленных материалов, несовершеннолетний ребенок А.Д. Буренина отстранен от посещения детской организации в связи с отказом заявителя от проведения в отношении него туберкулинодиагностики (проба Манту) и обследования ребенка врачом-фтизиатром. Решением суда общей юрисдикции, оставленным без изменения судом апелляционной инстанции, было отказано в удовлетворении искового заявления А.Д. Буренина о признании незаконным такого отстранения. Суды указали, что требование о допуске в детскую организацию детей, туберкулинодиагностика которым не проводилась, при наличии заключения врача-фтизиатра об отсутствии заболевания направлено на снижение риска раннего распространения туберкулеза и соблюдение прав граждан на охрану здоровья и благоприятную среду обитания.