Кто несет ответственность за возврат денег при пересечении дат приема на работу?

Работодатель точно не в чём не виноват. Он честно вас принял на работу и честно вам платил, к нему претензий нет. А вот как вам платили зарплату и пособие одновременно не понятно. По законодательству, как только вы трудоустроены официально (от зарплаты это не зависит) вас сразу же снимают с учёта и больше вы не числитесь безработной.

Снятие безработных граждан с регистрационного учета осуществляется учреждениями службы занятости в случаях:

признания в соответствии с законодательством Российской Федерации о занятости населения граждан занятыми;

прохождения профессиональной подготовки, повышения квалификации или переподготовки по направлению учреждений службы занятости с выплатой стипендии;

длительной (более месяца) неявки в учреждения службы занятости без уважительных причин;

переезда в другую местность;

установления злоупотреблений со стороны граждан (сокрытие заработка (дохода), предоставление документов, содержащих заведомо ложные сведения, а также предоставление других недостоверных данных для признания безработными и т.п.);

осуждения к наказанию в виде лишения свободы;

назначения в соответствии с пенсионным законодательством Российской Федерации пенсии по старости (по возрасту), за выслугу лет.

Необходимо посмотреть, что у вас написано в договоре. Если у вас договор на руках, то там должны быть пункты, о том, что ЦЗН вас трудоустраивает и доплачивает вам до "минималки". Т.е. вам надо внимательно прочитать договор, и вам необходимо попросить Работодателя дать вам справку о том, что вы приняты на работу по направлению от ЦЗ по ДОГОВОРУ! (предполагаю, что в вашем договоре Работодатель тоже должен быть прописан, как третья сторона) и работодатель, пусть вам даст копию приказа о принятии на работу. Пишите претензию на имя руководителя ЦЗН, приложите документы. Это вина сотрудников центра занятости, а не ваша.