Хотелось бы узнать, можно ли уволиться с работы так, чтобы не отрабатывать 2 недели?

Можно. Указывайте в заявлении обстоятельства, препятствующие дальнейшей работе в данной организации.

Расторгнуть трудовой договор в один день могут отдельные категории работников. К ним относятся беременные женщины, матери с малолетними детьми, родители детей-инвалидов. В некоторых случаях период отработки сокращается до трех дней. Например, для работников, которые находятся на испытательном сроке или трудоустроены по срочному трудовому договору, заключенному на два месяца.

Или взять больничный или отпуск и параллельно написать заявление на увольнение

Или надо договариваться с работодателем об увольнении по соглашению сторон, других законных путей уволиться на следующий день нету.

По нормам Трудового кодекса РФ Вы обязаны предупредить своего работодателя о предстоящем увольнении по собственному желанию не менее чем за две недели. Уволиться ранее этого срока можно по соглашению с работодателем (ст. 78 Кодекса), то есть по договорённости с директором.

Вообще согласно ТК РФ, работник должен предупредить работодателя о своем увольнении за 2 недели, однако, по согласованию с работодателем можно уволиться и раньше, кроме того есть случаи, когда можно уволиться раньше в силу закона ТК РФ Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.