Должно ли данное заявление регистрироватся во входящей документации организации и должен ли быть издан приказ о моем отпуске?

Согласно трудовому законодательству РФ(ст. 123) очередность предоставления оплачиваемых отпусков определяется ежегодно в соответствии с графиком отпусков, утверждаемым работодателем не позднее чем за две недели до наступления календарного года. Названный график обязателен и для работника, и для работодателя. О времени начала отпуска работник должен быть извещён(в случае чего… факт извещения Вас должен доказать Ваш руководитель, причём письменными документами) не позднее чем за две недели до его начала.

Все заявления должны регистрироваться в журналах входящей корреспонденции.

Не предоставляться отпуск не может, но он может быть перенесён(ст.124 ТК РФ), например, когда предоставление отпуска может отразиться на нормальном ходе работы организации.

При соблюдении работодателем вышеуказанных условий, если даже директор попытается что-то сделать, то у него ничего не получится. Думаю, что директор не пойдет на такой незаконный шаг. А если все же пойдет, то в конечном итоге проиграет, поскольку на суде ему могут задать следующие вопросы: почему не сразу уволили? Как объяснить факт получения работником отпускных денег? Как характеризовался работник? и т.д.