Как мне узнать числюсь ли я официально работающей самостоятельно?

Через ПФР можете попробовать, производятся ли отчисления с ЗП, как вариант.

Здравствуйте Татьяна!

Если Вы хотите узнать свой статус как ИП либо самозанятой для этого достаточно открыть свой личный кабинет на сайте ФНС РФ.

Через госуслуги можете заказать выписку из лицевого счета, там будет видно.

Статья 67 ТК РФ: Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.

Заявление о приеме на работу письменное писали или нет, по законодательству первое это заявление о приеме на работу, второе это заключение трудового договора, третье сдача документов и согласие на обработку персональных данных, трудовой книжки, внесение в нее записи о приеме на работу, формирование личного дела, вынесение приказа о приеме на работу, если всего этого не было, Вас не оформили.

Также можете посмотреть информацию через сайт Госуслуги.