Как брат сможет стать полным владельцем квартиры, наследованной после смерти сестры и справиться с долгами матери

Мать - наследник первой очереди. Если мать прописана в квартире, то считается, что она фактически приняла наследство. Брат - наследник второй очереди. Если есть наследник первой очереди, принявший наследство, то наследник второй очереди наследовать не может. Матери нужно отказаться от наследства в пользу брата. Отказ должен быть удостоверена нотариусом.

Ну или как то вообще решить этот вопрос, подарить тоже не получается так как стоит запрет регистрации в Росреестре из-за долгов.

Без помощи Вам не справиться.

Нормы права:

КОНСТИТУЦИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статья 48

1. Каждому гарантируется право на получение квалифицированной юридической помощи. В случаях, предусмотренных законом, юридическая помощь оказывается бесплатно.

Если и запрет регистрации стоит, то с квартирой вообще ничего не сделать и никогда до погашения долга. Человека просто так в никуда не выселить, независимо от того, страдает он зависимостью или нет, вступит в наследство фактически, просто оставшись жить в квартире или по закону; его лечить надо, а не в гроб загонять; а если мать отказалась еще и от приватизации, то она почти навечно сохраняет право пользованию ей. так что, хлестните чрево своей наживы хлыстом справедливости и законности и забудьте про квартиру.