Как переоформить временную прописку сына на постоянную, если собственник квартиры мать, проживающая в другом городе?

Без собственника к сожалению никак, она может направить заявление на регистрацию сына по почте в отдел регистрационного стола МВД, к сожалению это все что можно сделать.

Здравствуйте, Елена.

Для регистрации по месту жительства гражданин обязан представить документ, удостоверяющий личность (п.16 Постановления Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 (ред. от 11.10.2021) "Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и..). В этой связи присутствие сына при регистрации обязательно.

Вместе с тем, в случае отсутствия жилищно-эксплуатационных организаций при заселении жилых помещений, принадлежащих на праве собственности гражданам или юридическим лицам, документ, удостоверяющий личность, может быть представлен этим гражданам или представителю юридического лица, на которого возложены обязанности по контролю за использованием жилых помещений.

17. Лица, ответственные за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, а также граждане и юридические лица, предоставляющие для проживания принадлежащие им на праве собственности жилые помещения, в 3-дневный срок со дня обращения граждан передают документы, указанные в пункте 16 настоящих Правил, вместе с адресными листками прибытия и формами статистического учета в органы регистрационного учета.

Т.о., Вы вправе обратиться в орган рег. учёта с заявлением и документом, удостоверяющим личность сына, с целью регистрации сына по месту жительства.

С уважением.