Как быть, если в части не предусмотрена должность старшины - возможность назначения и отказа от исполнения обязанностей.

Да можете.

Положение о порядке прохождения военной службы

Статья 12. Порядок возложения временного исполнения обязанностей по воинской должности

1. В связи со служебной необходимостью на военнослужащего может быть возложено временное исполнение обязанностей по следующей равной или высшей воинской должности, которую он не занимает:

а) вакантной (незанятой) воинской должности — с его согласия (временное исполнение должности — врид);

б) невакантной (занятой) воинской должности — в случае временного отсутствия занимающего ее военнослужащего или отстранения занимающего ее военнослужащего от должности (временное исполнение обязанностей — врио). В этом случае военнослужащий освобождается от исполнения обязанностей по занимаемой воинской должности, но от занимаемой воинской должности не освобождается.

Здравствуйте, в теории это возможно, однако здесь вот какая небольшая загвоздка, чтобы вас назначить на должность она должна быть создана штатным расписанием части, потому что под нее выделяется финансирование из Бюджета, следовательно если штатным расписанием должность не предусмотрена под нее нет финансирования, следовательно назначить вас на должность можно толкьо в кадровый резерв, либо должность будет создана в ближайшее время

Указ Президента РФ от 16.09.1999 N 1237 (ред. от 31.12.2021) "Вопросы прохождения военной службы" (вместе с "Положением о порядке прохождения военной службы")

Статья 12. Порядок возложения временного исполнения обязанностей по воинской должности.

Командир части в силу ст. 33 увс вс рф вправе возложить на вас нештатные обязанности и издать приказ об этом.