Как правильно направить копию заявления о возмещении судебных расходов проигравшей стороне - через суд или самостоятельно?

Вы не обязаны направлять другой стороне копию заявления с документами.

Никакого обязательства направления копии стороне не предусмотрено

дождитесь вступление решение в силу, потому что если будет подана апелляция, кассация - у Вас будут еще расходы, но взыскать их повторно Вы не сможете

ГПК РФ Статья 103.1. Разрешение вопросов о судебных расходах

(введена Федеральным законом от 28.11.2018 N 451-ФЗ)

1. Заявление по вопросу о судебных расходах, понесенных в связи с рассмотрением дела в суде первой, апелляционной, кассационной инстанций, рассмотрением дела в порядке надзора, не разрешенному при рассмотрении дела в соответствующем суде, может быть подано в суд, рассматривавший дело в качестве суда первой инстанции, в течение трех месяцев со дня вступления в законную силу последнего судебного акта, принятием которого закончилось рассмотрение дела.

2. Пропущенный по уважительной причине срок подачи заявления по вопросу о судебных расходах, понесенных в связи с рассмотрением дела в суде первой, апелляционной, кассационной инстанций, рассмотрением дела в порядке надзора, не разрешенному при рассмотрении дела в соответствующем суде, может быть восстановлен судом.

Нужно отправить самостоятельно.