Как доказать свою родственную связь с умершей бабушкой, если в госархиве нет свидетельства о рождении матери?

Вам надо запросить так называемую актовую запись в том же архиве

Но вам могут отказать в этом. И вот почему

Статья 13.2. Предоставление сведений, содержащихся в Едином государственном реестре записей актов гражданского состояния

1. Сведения о государственной регистрации рождения, содержащиеся в Едином государственном реестре записей актов гражданского состояния, и сведения о внесении исправлений или изменений в записи актов о рождении, содержащиеся в Едином государственном реестре записей актов гражданского состояния, предоставляются федеральному органу исполнительной власти в сфере внутренних дел (его территориальным органам), федеральному органу исполнительной власти, осуществляющему функции по контролю и надзору за соблюдением законодательства о налогах и сборах (его территориальным органам), федеральному органу исполнительной власти, осуществляющему функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере здравоохранения, федеральному органу исполнительной власти, осуществляющему функции по формированию официальной статистической информации о социальных, экономических, демографических, экологических и других общественных процессах в Российской Федерации (его территориальным органам), Пенсионному фонду Российской Федерации, Фонду социального страхования Российской Федерации, территориальным фондам обязательного медицинского страхования, органам исполнительной власти субъектов Российской Федерации, осуществляющим полномочия в сфере информационно-коммуникационных технологий и организации информационного взаимодействия с федеральными органами исполнительной власти и (или) автоматизированными системами федеральных органов исполнительной власти, избирательным комиссиям, комиссиям референдума.

Но это может сделать суд. Подавайте заявление в порядке особого производства об установлении родства. Нужна будет помощь - обращайтесь к юристам.