Возможно ли сейчас признание отцовства в добровольном порядке путем подачи совместного заявления в ЗАГС?

Да, это можно сделать в органе ЗАГС по заявлению отца ребенка при обязательном согласии матери.

Да, безусловно, можно если ребенок родился от лиц, состоящих в браке между собой, а также в течение трехсот дней с момента расторжения брака, признания его недействительным или с момента смерти супруга матери ребенка, отцом ребенка признается супруг (бывший супруг) матери, если не доказано иное. Отцовство супруга матери ребенка удостоверяется записью об их браке. Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка

Согласно п. 6 Постановления Пленума Верховного суда РФ "О применении судами Семейного Кодекса Российской Федерации при рассмотрении дел об установлении отцовства и о взыскании алиментов", заключение экспертизы по вопросу о происхождении ребенка, в том числе проведенной методом "генетической дактилоскопии", в силу ч. 3 ст. 86 ГПК РФ является одним из доказательств, которое должно быть оценено судом в совокупности с другими имеющимися в деле доказательствами, поскольку в соответствии с ч. 2 ст. 67 ГПК РФ никакие доказательства не имеют для суда заранее установленной силы.