Родители хотят подать заявление, так вот вопрос: могут ли этого парня посадить в этой ситуации?

Могут, запросто.

Статья 134. Половое сношение и иные действия сексуального характера с лицом, не достигшим шестнадцатилетнего возраста

1. Половое сношение, мужеложство или лесбиянство, совершенные лицом, достигшим восемнадцатилетнего возраста, с лицом, заведомо не достигшим шестнадцатилетнего возраста, -

наказываются принудительными работами на срок до четырех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового либо лишением свободы на срок до четырех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до пяти лет или без такового.

Статья 135. Развратные действия

1. Совершение развратных действий без применения насилия лицом, достигшим восемнадцатилетнего возраста, в отношении лица, заведомо не достигшего шестнадцатилетнего возраста, -

наказывается штрафом в размере до трехсот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до двух лет, либо ограничением свободы на срок до трех лет, либо лишением свободы на тот же срок с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до пяти лет или без такового.

Подпадаете под статью! И посадить могут!