Как получить материнский капитал и детские пособия для детей в России, если вы граждане Азербайджана?

Нет, не получите капитал. Не важно, что в России родились, а важно что родители и дети не граждане.

Федеральный закон "О дополнительных мерах государственной поддержки семей, имеющих детей" от 29.12.2006 N 256-ФЗ

Статья 3. Право на дополнительные меры государственной поддержки

1. Право на дополнительные меры государственной поддержки возникает при рождении (усыновлении) ребенка (детей), имеющего гражданство Российской Федерации, у следующих граждан Российской Федерации независимо от места их жительства:

1) женщин, родивших (усыновивших) второго ребенка начиная с 1 января 2007 года;

2) женщин, родивших (усыновивших) третьего ребенка или последующих детей начиная с 1 января 2007 года, если ранее они не воспользовались правом на дополнительные меры государственной поддержки;

3) мужчин, являющихся единственными усыновителями второго, третьего ребенка или последующих детей, ранее не воспользовавшихся правом на дополнительные меры государственной поддержки, если решение суда об усыновлении вступило в законную силу начиная с 1 января 2007 года;

4) женщин, родивших (усыновивших) первого ребенка начиная с 1 января 2020 года;

(п. 4 введен Федеральным законом от 01.03.2020 N 35-ФЗ)

5) мужчин, являющихся единственными усыновителями первого ребенка, ранее не воспользовавшихся правом на дополнительные меры государственной поддержки, если решение суда об усыновлении вступило в законную силу начиная с 1 января 2020 года;

(п. 5 введен Федеральным законом от 01.03.2020 N 35-ФЗ)

6) мужчин, воспитывающих второго, третьего ребенка или последующих детей, рожденных начиная с 1 января 2007 года, и являющихся их отцами (усыновителями), в случае смерти женщины, не имевшей гражданства Российской Федерации, родившей указанных детей, либо объявления ее умершей;

(п. 6 введен Федеральным законом от 30.04.2022 N 116-ФЗ)

7) мужчин, воспитывающих первого ребенка, рожденного начиная с 1 января 2020 года, и являющихся отцами (усыновителями) указанного ребенка, в случае смерти женщины, не имевшей гражданства Российской Федерации, родившей указанного ребенка, либо объявления ее умершей.

(п. 7 введен Федеральным законом от 30.04.2022 N 116-ФЗ)

После получения гражданства сможете претендовать только на пособия.