Можно ли иностранцу с туристической визой снимать квартиру в РФ официально и оформить там регистрацию?

Естественно можно. Не только можно, но и нужно искать именно такую квартиру, в которой собственник согласен на регистрацию места жительства арендатора на время договора аренды.

Постановление Правительства РФ от 15.01.2007 N 9 (ред. от 26.05.2021) "О порядке осуществления миграционного учета иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации"

II. РЕГИСТРАЦИЯ И СНЯТИЕ С РЕГИСТРАЦИИ

ИНОСТРАННЫХ ГРАЖДАН ПО МЕСТУ ЖИТЕЛЬСТВА

3. Постоянно или временно проживающий в Российской Федерации иностранный гражданин, обладающий правом пользования жилым помещением, находящимся на территории Российской Федерации, для осуществления регистрации по месту жительства подает в территориальный орган Министерства внутренних дел Российской Федерации в месте нахождения жилого помещения непосредственно - лично или в электронной форме с использованием федеральной государственной информационной системы "Единый портал государственных и муниципальных услуг (функций)" (далее - электронная форма) либо через многофункциональный центр предоставления государственных и муниципальных услуг (далее - многофункциональный центр) заявление иностранного гражданина или лица без гражданства о регистрации по месту жительства, в том числе с заполненной отрывной частью, установленной формы (далее - заявление о регистрации).

(в ред. Постановления Правительства РФ от 07.12.2020 N 2038)

(см. текст в предыдущей редакции)

Заявление о регистрации подается в течение 7 рабочих дней с даты получения иностранным гражданином разрешения на временное проживание или вида на жительство либо с даты его прибытия в место нахождения указанного жилого помещения.

(абзац введен Постановлением Правительства РФ от 10.11.2009 N 913)

В случае подачи иностранным гражданином заявления о регистрации в электронной форме оно подписывается простой электронной подписью или усиленной квалифицированной электронной подписью заявителя.

(абзац введен Постановлением Правительства РФ от 07.12.2020 N 2038)

4. В заявлении о регистрации иностранный гражданин должен указать следующие сведения:

а) фамилия, имя, отчество;

б) дата рождения;

в) гражданство (подданство);

г) вид и реквизиты (серия, номер, дата и место выдачи, срок действия) документа, удостоверяющего личность и признаваемого Российской Федерацией в этом качестве (далее - документ, удостоверяющий личность иностранного гражданина);

д) вид и реквизиты документа, подтверждающего право на проживание в Российской Федерации;

е) адрес, по которому иностранный гражданин просит его зарегистрировать;

ж) документы, подтверждающие право пользования жилым помещением в соответствии с законодательством Российской Федерации;

з) адрес регистрации по последнему месту жительства.