Как защититься от потери срока для апелляции во вторую инстанцию при рассмотрении апелляции в Мосгорсуде?

Скорей всего вы что-то путаете, возможно упоминали про второй кассационный суд, поскольку ваше дело рассматривалось в соответствии с нормами КАС РФ. Следующая инстанция - кассационная и согласно ст.138 КАС РФ срок кассационного обжалования составляет 6 месяцев.

Чтобы получить решение пишите соответствующее заявление в суд, если никаких ответов не будет на заявление - жалобу на имя председателя, как вам выше посоветовали.

Вам не могли такое сказать, скорее всего Вы недослышали судью. Они часто говорят "скороговоркой".

КАС РФ Статья 318. Право на обращение в суд кассационной инстанции

1. В случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, вступившие в законную силу судебные акты могут быть обжалованы в порядке, установленном настоящей главой, в суд кассационной инстанции лицами, участвующими в деле, и другими лицами, если их права, свободы и законные интересы нарушены судебными актами.

2. Судебные акты могут быть обжалованы в суд кассационной инстанции в течение шести месяцев со дня их вступления в законную силу при условии, что лицами, указанными в части 1 настоящей статьи, были исчерпаны иные установленные настоящим Кодексом способы обжалования судебного акта до дня вступления его в законную силу.

...